História da Matemática - "Números e Sistema de Numeração" -

 

A História da Ciência e, em particular, a História da Matemática, constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas ideias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram.

Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino/aprendizado da própria matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento. Permite também estabelecer conexões com a história, a filosofia, a geografia e várias outras manifestações da cultura.    

Conhecendo a história da matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram, que foram desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquela em que são apresentadas após todo o processo de descoberta.

Introdução

Os textos matemáticos (em escrita cuneiforme) mais antigos foram encontrados na Mesopotâmia. Na China, é inventado o ábaco, primeiro instrumento mecânico para calcular. São criadas as tabuadas e o cálculo de área é desenvolvido. Estas coisas aconteceram entre 3000 e 2500 a.C.

 Aproximadamente em 1600 a.C., é escrito o papiro de Rhind, principal texto matemático dos egípcios, este contem regras para o cálculo de adições e subtrações de frações, equações simples de 1º grau, diversos problemas de aritmética, medições de superfícies e volumes.

De 550 até 450 a.C., é estabelecida a era pitagórica, caracterizada por grandes conhecimentos na geometria elementar, como o teorema de Pitágoras. Os pitagóricos foram os primeiros a analisar a noção de número e estabelecer as relações de correspondência entre a aritmética e a geometria. Definiram os números primos, algumas progressões e a teoria das proporções.

O matemático grego Erastótenes idealizou um método com o qual pôde medir a circunferência da terra, isto ocorreu entre 276 e 194 a.C.

Entre os anos 300 e 600 o povo hindu cria o sistema numérico decimal que usamos hoje.

 No ano 1100, Omar Khayyam desenvolve um método para desenhar um segmento cuja longitude fosse a raiz real positiva de um polinômio  cúbico dado. Em 1525, o matemático alemão emprega o atual símbolo da raiz quadrada. Em 1545, Gerolamo Cardano publica o método geral para a resolução de equações do 3º grau. Em 1550, Ferrari torna público o método de resolver equações do 4º grau. Em 1591, François Viète aplica, pela primeira vez, a álgebra à geometria. Em 1614, os logaritmos são inventados por Napier. Em 1619, Descartes cria a geometria analítica.

 No ano 1642, Blaise Pascal constrói a primeira maquina de calcular, com a qual podia-se somar ou subtrair com números de até seis dígitos. Em 1684, é criado, ao mesmo tempo, por Newton e Leibniz o cálculo infinitesimal. Em 1746, D’Alembert enuncia e demonstra parcialmente que qualquer polinômio de grau n tem n raízes reais.

 No período compreendido entre o ano 1761 e 1895, muita coisa aconteceu. Johann Lambert prova que o número p é irracional (1761). Leonard Euler, matemático suíço, simboliza a raiz quadrada de -1 com a letra i (de imaginário) (1777). O matemático italiano Paolo Ruffini enuncia e demonstra parcialmente a impossibilidade de resolver equações de 5º grau (1798). Laplace publicou em Paris a Teoria Analítica das Probabilidades, onde faz um desenvolvimento rigoroso da teoria das probabilidades com aplicação a problemas demográficos, jurídicos e explicando diversos fatos astronômicos (1812). Bernhard Bolzano cria o teorema que leva seu nome (1817). O matemático russo Georg Cantor cria a teoria dos conjuntos (entre 1872 e 1895).

Em 1904, o matemático sueco Niels F. Helge Von Koch constrói a curva que leva seu nome. As medalhas Fields são criadas para premiar os matemáticos que se destacam (1924). Em 1975, Mitchell Feigenbaum descobre um modelo matemático que descreve a transição da ordem ao caos. Em 1977, os matemáticos K. Appel e W. Haken resolvem o histórico teorema das quatro cores com a ajuda de um computador.

 

 

 

 

A CRIAÇÃO DOS NÚMEROS

Os números foram inventados pelos homens. Mas sua criação não aconteceu de repente surgiu da necessidade de contar coisas. O homem primitivo, por exemplo, contava traçando riscos na madeira ou no osso, ou ainda, fazendo nós em uma corda. Como era difícil contar quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós ou riscos simples, a necessidade de efetuar cálculos com maior rapidez levou o homem a criar símbolos, para representar quantidade. Na antiguidade, nem todos os povos usavam os mesmos símbolos. Vamos conhecer como alguns povos dessa época contavam.

 

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO ROMANO

Os romanos representavam quantidades usando as próprias letras de seu alfabeto:

 

• I - valia uma unidade
• V - valia cinco unidades
• X - representava dez unidades
• L - indicava cinqüenta unidades
• C - valia cem unidades
• D - representava quinhentas unidades
• M - indicava mil unidades

 
As quantidades eram representadas colocando-se os símbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte regra:

 Os símbolos iguais juntos, até três , significava soma de valores:

• II = 1 + 1 = 2
• XXX = 10 + 10 + 10 = 30
• CCC = 100 + 100 + 100 = 300
•  

Dois símbolos diferentes juntos, com o número menor aparecendo antes do maior, significava subtração de valores:

• IV = 5 - 1 = 4
• XL = 50 - 10 = 40
• XC = 100 - 10 = 90

 

Dois símbolos diferentes juntos, com o maior aparecendo antes do menor, significa soma de valores:

• LX = 50 + 10 = 60
• CCXXX = 200 + 30 = 230
• DC = 500 + 100 = 600
•  MMMD = 3000 + 500 = 3500

 

Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras correspondentes à quantidade de milhares:

__
IV = 4000

_
V = 5000

_
VCCCXX = 5320

____
XXIII = 23000

obs: Os Romanos não conheciam um símbolo para representar o número zero

SISTEMA DE NÚMERAÇÃO HINDU

Foram os hindus que inventaram os símbolos que usamos até hoje:  0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são conhecidos como algarismos indo-arábicos e com eles escrevemos todos os números.

Mais adiante vamos falar sobre o sistema de numeração que usamos. Você sabe, por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem diferentes.

 

NÚMEROS NATURAIS

Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc) empregamos os números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,..........

Esses números são chamados de números naturais. Existem infinitos números naturais os números que aparecem juntos, como na seqüência acima são chamados números consecutivos.

Por exemplo: 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem depois) e 12 é o antecessor (vem antes) de 13

Observações:

• 1) todo número natural tem um sucessor (é o que vem depois)
• 2) todo número natural tem um antecessor (é o que vem antes), com exceção do zero

• 3) Um número natural e o seu sucessor são chamados números consecutivos.

PAR OU IMPAR

• Um número natural é par quando termina em 0,2,4,6 ou 8
• Os números pares são: 0,2,4,6,8,10,12,14,16......
• Um número é ímpar quando termina em 1,3,5,7, ou 9.
• Os números ímpares são: 1,3,5,7,9,11,13,15.......

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

A convivência em sociedade provocou na humanidade, a necessidade da criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais.

Para expressarmos quantidades ou para enumerarmos objetos, por exemplo, utilizamos um sistema de numeração. Existem vários sistemas de numeração, mas o mais comum e que é frequentemente utilizado por nós, é o sistema de numeração decimal.

Neste sistema os números são representados por um agrupamento de símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos.

O sistema de numeração decimal possui ao todo dez símbolos distintos, através dos quais se utilizarmos apenas um dígito, podemos representar quantidades de zero a nove.

Dígitos ou algarismos são símbolos numéricos utilizados na representação de um número, por exemplo, o número 756 é composto de três dígitos: 7, 5 e 6.

No sistema decimal contamos com dez símbolos distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Números no Sistema Decimal

• 0 - zero:
• 1 - um:
• 2 - dois: 
• 3 - três:  
• 4 - quatro:   
• 5 - cinco:    
• 6 - seis:     
• 7 - sete:      
• 8 - oito:       
• 9 - nove:        

 

Acima vemos dez números no sistema decimal com apenas um Dígito.

Observe que o 0 (zero) é utilizado neste caso para representarmos a ausência de bolinhas. O 1 representa uma bolinha, o 2 representa duas bolinhas e assim por diante, sempre considerando uma bolinha a mais, até chegarmos ao número 9 que representa um total de nove bolinhas.

Se tivermos mais uma bolinha, como será a representação simbólica deste numeral?

Como já utilizamos todos os dez símbolos e não dispomos de outros, vamos recomeçar a sequência pegando novamente o 0, mas agora iremos trabalhar com dois dígitos.

À esquerda deste zero devemos colocar o próximo símbolo. Como ainda não utilizamos nenhum símbolo nesta posição, ele seria o 0, mas como o zero não é um dígito significativo, pois ele representa a ausência, então o primeiro símbolo a utilizar será o 1.

O próximo número será então:

• 10 - dez: O|

 

Note que a bolinha à esquerda do símbolo | representa as dez bolinhas, ou uma dezena e à direita do | não temos nenhuma bolinha, pois estamos representando o zero.

 

Se tivermos uma bolinha a mais, ou seja, onze, a representação será:

 

11 - onze: O|O

 

Repare que agora temos uma bolinha de cada lado do símbolo |, a bolinha à esquerda vale dez vezes mais que a da direita. A da esquerda vale dez e a da direita vale um.

 

De doze a dezenove temos as seguintes representações:

 

12 - doze: O | O O

 

13 - treze:  O| OOO

 

14 - quatorze:  O| OOOO                                    

 

15 - quinze:  O| OOOOO

 

16 - dezesseis:O| OOOOOO

 

17 - dezessete: O| OOOOOOO

 

18 - dezoito:O| OOOOOOOO

 

19 - dezenove:O| OOOOOOOO

 

O critério é sempre o mesmo, a bolinha à esquerda do símbolo | vale dez vezes mais que qualquer uma das bolinhas da direita.

 

E se tivermos outra bolinha a mais, qual será a representação?

 

Como no novo ciclo já utilizamos todos os dígitos de 0 a 9, faremos tal qual no caso do dez. À direita utilizaremos o 0, e a esquerda utilizaremos o próximo símbolo. Como estávamos utilizando o 1, o próximo será o 2. Temos então:

 

20 - vinte: OO|

 

Seguindo o raciocínio vinte e um será:

 

21 - vinte e um:OO|O

 

Para setenta e dois temos:

 

72 - setenta e dois:OOOOOOO|OO

 

Para noventa e nove temos:

 

99 - noventa e nove: OOOOOOOOO|OOOOOOOOO

 

Com mais uma bolinha chegaremos a cem. Como já utilizamos os noves símbolos à direita do |, devemos novamente reiniciar em 0 e na esquerda devemos utilizar o próximo símbolo da sequência, mas acontece que na esquerda do | também já utilizamos os nove símbolos, então devemos voltar a 0 nesta posição e à sua esquerda utilizarmos o próximo símbolo. Como ainda não utilizamos nenhum e como não podemos utilizar o zero, pois ele não é significativo, utilizaremos o 1.

 

A representação para o número cem será então:

 

100 - cem: O| |

 

Qualquer bolinha nesta posição valerá cem vezes mais que qualquer bolinha na posição da direita.

 

Vejamos a representação para o número cento e onze:

 

111 - cento e onze: O|O|O

 

Temos uma bolinha na esquerda, outra no centro e uma outra na direita. Embora todas sejam representadas pelo símbolo 1, a da esquerda vale 100, a do meio vale 10 e a da direita vale 1 mesmo.

 

A bolinha da direita ocupa a casa das unidades e por isto vale exatamente o que o seu símbolo representa, ou seja, vale 1 unidade.

 

A bolinha à sua esquerda, isto é, a bolinha do centro, ocupa a casa das dezenas e por isto vale dez vezes mais do que o seu símbolo representa, ou seja, vale 10 unidades.

 

Finalmente a bolinha à sua esquerda, isto é, a bolinha da esquerda, ocupa a casa das centenas e por isto vale cem vezes mais do que o seu símbolo representa, ou seja, vale 100 unidades.

 

 

Ordens e Classes

As casas das unidades, das dezenas e das centenas são chamadas de ordens.

No sistema de numeração decimal a cada três ordens posicionadas da direita para a esquerda temos uma classe.

A primeira classe, também da direita para a esquerda, é a das unidades, na sequência temos a classe dos milhares, dos milhões, bilhões e assim por diante conforme a figura abaixo:

O número 111 visto acima está todo contido na classe das unidades simples.

O dígito da esquerda é da ordem das centenas, por isto ao invés de 1 unidade, ele equivale a 100 unidades.

O central é da ordem das dezenas, equivalendo então a 10 unidades ao invés de 1 unidade apenas.

O dígito da direita é da ordem das unidades equivalendo ao próprio valor do símbolo 1 que é de 1 unidade.

Para facilitar a leitura dos números com muitas classes, podemos separá-las utilizando o caractere ".", assim o número dois milhões, quinhentos e seis mil, oitocentos e trinta e nove pode ser escrito como 2.506.839.

Este número é formado por três classes.

A classe dos milhões é composta por uma única ordem, o dígito das unidades de milhões. Neste caso o símbolo 2 na verdade representa dois milhões unidades ( 2.000.000 ).

Na segunda classe, a dos milhares, temos três ordens, cada uma com os seguintes valores:

O símbolo 5 na ordem das centenas de milhar representa quinhentas mil unidades (500.000).

O símbolo 0 na ordem das dezenas de milhar, como sabemos não representa qualquer unidade.

O símbolo 6 na ordem das unidades de milhar representa seis mil unidades ( 6.000 ).

Finalmente na primeira classe, a classe das unidades, temos:

O símbolo 8 na ordem das centenas de unidades representa oitocentas unidades ( 800 ).

O símbolo 3 na ordem das dezenas de unidades representa trintas unidades ( 30 ).

O símbolo 9 na ordem das unidades de milhar representa nove unidades ( 9 ).

 

Parte Fracionária

Até agora só tratamos de números inteiros, mas no universo do sistema de numeração decimal temos também os números fracionários.

Para separarmos a parte inteira da parte fracionária, utilizamos a vírgula.

Como já vimos, na parte inteira o valor de cada símbolo depende da sua posição relativa no número. Partindo-se da posição mais à direita, quando nos deslocamos à esquerda, a cada ordem o valor do símbolo aumenta em 10 vezes. De forma semelhante, quando nos deslocamos à direita na parte fracionária, a cada posição o valor do símbolo diminui em 10 vezes.

A primeira casa após a vírgula refere-se aos décimos, a segunda aos centésimos, a terceira aos milésimos, a quarta aos décimos de milésimos, e assim por diante, centésimos de milésimos, milionésimos, ...

Assim no número 0,1 o símbolo 1 não tem o valor de um, mas sim o valor relativo de apenas um décimo.

No número 0,02 o símbolo 2 equivale a dois centésimos.

No número 0,003 o símbolo 3 equivale a três milésimos e em 0,0003 equivale a três décimos de milésimos.

O número 0,25 pode ser lido como vinte e cinco centésimos ou ainda como dois décimos e cinco centésimos.

Lê-se 7,123 como sete inteiros e cento e vinte e três milésimos, ou ainda como sete inteiros, um décimo, dois centésimos e três milésimos.

1,5 é lido como um inteiro e cinco décimos.

 

Fonte de origem: https://www.matematicadidatica.com.br/SistemaNumeracaoDecimal.aspx